La majoria de les coses són molt més fàcils de fer quan alguna persona t’ajuda. Estem parlant d’ajuda útil, òbviament, no dels típics consells que tots i totes hem donat amb una cerveseta i ben escarxofats al sofà.

Una sola feina entre dos no és la meitat de feina, és molt menys de la meitat. I quan parlo de feina no estic parlant d’una percepció subjectiva de l’esforç, parlo del rendiment del treball, una magnitud física que mesura (en Joules concretament) la rendibilitat que dona una força en forma de desplaçament. És a dir, el treball mesura l’energia necessària per a desplaçar un cos una distància concreta. Doncs bé, quan t’ajuden la quantitat de treball total necessària per a dur a terme una tasca és la mateixa, però la quantitat d’esforç (de força) invertida (en Newtons) es redueix.

La percepció del treball és una mica abstracte. Als meus alumnes els hi costa fer-se a la idea del que significa, però bàsicament el treball el fa una força que s’alinea amb el desplaçament. És a dir, una força que no estigui alineada amb el desplaçament d’un objecte no fa treball… No us vull marejar, però per a il·lustrar el que us estic dient penseu en una persona que carrega una motxilla per anar al gimnàs. El pes de la motxilla, que tiba cap a avall (en vertical), fa una força, però aquesta força no fa cap treball perquè la persona que carrega la motxilla la desplaça horitzontalment des de casa seva fins al gimnàs. El pes de la motxilla sí que fa un treball, però només quan col·labora a fer-la caure a terra o quan s’oposa a que l’aixequin (treball negatiu, en aquest cas).

Creieu que aquest individu està realitzant algun tripus de treball? Com és evident no, perquè no hi ha desplaçament ;P.

Tornant al fil. Potser l’esforç (o força) necessari per a fer una tasca una persona sola és de 100 Newtons. En canvi si es fa entre dues només s’inverteix 40 Newtons cada persona, és a dir, 80 Newtons en total. L’esforç (o força) invertit no serà el mateix, però el resultat obtingut en forma de treball sí que ho serà. Aquesta és la base de la producció en cadena, sistema de treball basat en el taylorisme, ideat per Ransom Olds i popularitzat per Henry Ford en la producció del famós model T de Ford (fordisme). L’especialització de les tasques porta aquesta reducció molt més enllà, minimitzant els esforços per a obtenir els mateixos resultats…, o fins i tot millors, ja que un especialista sempre obtindrà millors resultats que aquell que no ho és.

Si ho portem a l’extrem, ens trobem amb que fins i tot hi ha coses que un no pot fer sol. Aixecar un moble gran, per exemple, és gairebé impossible fer-ho sol. Encara que puguis aixecar el seu pes, et trobaràs que en intentar agafar-lo no el podràs abastar amb els braços, de manera que, si no t’ajuda algú agafant-lo des d’una punta mentre tu l’agafes de l’altra, mai podràs moure’l en condicions. Penseu en un rentaplats, per exemple, que pot pesar uns 40 quilos. Si el vols canviar de lloc has d’invertir una quantitat d’energia enorme, fins i tot pot ser que et resulti una tasca  impossible de fer, mentre que quan alguna persona t’ajuda resulta fàcil de moure’l.

Aquest fet sempre m’ha fascinat. És com màgia, una espècie d’aplicació de la teoria fractal però a la inversa.

Que què és això del fractal? M’encanta que em feu aquesta pregunta.

Sí, estimades lectores i lectors. Em sento com l’Abe Simpson explicant sopars de duro: En aquella época el cielo no era azul, sólo era de color cielo. Claro que no sabíamos lo que era el azul, así que le llamábamos rojo y al rojo le llamábamos “tapir”…

Ens hem de remuntar al 1914 (ja sabeu com m’agraden els prolegòmens), quan un matemàtic alemany d’origen jueu anomenat Felix Hausdorff, va escriure la seva obra magna Grundzüge der Mengenlehre, que pel que he trobat al traductor de Google ve a voler dir “teoria de les bases de conjunts” o quelcom semblant. En la seva obra Hausdorff planteja, entre altres coses, el terme “dimensió fractal”. Bàsicament el que ve a dir, de forma planera, és que els objectes del món en que vivim tenen més de dues dimensions, però que en tenen menys de tres. Això vol dir que la dimensió dels objectes no és entera sinó fraccionaria i que depèn en gran mesura de l’escala amb què la mirem.

Posem l’exemple el tronc d’un arbre: és evident que té una estructura tridimensional en forma cilíndrica, oi? bé, per a nosaltres, amb l’escala amb el que el veiem sí que és així. Però ara penseu en una formiga que s’hi passeja. Per a la formiga el tronc de l’arbre tan sòls té dues dimensions: només el pot recórrer endavant, enrere, cap a la dreta o cap a l’esquerra. Per a la formiga el tronc no té volum, perquè des de la seva escala dimensional no pot apreciar-lo de cap manera.

Per tant: quantes dimensions conformen el tronc de l’arbre? Si haig de respondre jo, diria que tres. Si ha de respondre la formiga segur diria que dos. I si la pregunta anés dirigida a Hausdorff probablement diria que més de dues però menys de tres. Dues i escaig, vamos.

Què? Com us heu quedat?

Estic intentant simplificar el concepte i demano disculpes a tot el col·lectiu matemàtic, per avançat. No trobo altra manera d’explicar-lo. Si aquestes línies se les està llegint alguna persona del “mundillo” em voldrà apallissar, i probablement amb raó.

Diu en Pitàgores que sí…, que em perdona. De bon rotllo.

Un exemple paradigmàtic de fractal geomètric seria un floc de neu. Si podeu fer zoom sobre un floc de nou, podreu veure ramificacions més petites, i si feu un zoom sobre aquelles ramificacions, encara en trobareu de més petites…, i així fins a l’infinit. Un floc de neu que es troba dins d’un altre floc de neu i que conté alhora infinits flocs de neu.

Ramificacions com aquestes, més o menys, fetes per les reines de la casa amb la famosa Chalk Paint.

Tot i que la teoria dels fractals fa referència exclusivament a aquestes formes en concret, el concepte no només és aplicable a les formes geomètriques repetitives. Pots aplicar-lo a moltíssimes més coses de la vida.

Un bròquil també és un fractal paradigmàtic. Us hi heu fixat mai? Aneu ara mateix a la nevera i mireu com és. Ah, que no teniu bròquil a la nevera… Bé, busqueu-lo per internet. És de color verd.

Al nostre voltant convivim amb realitats que no podem arribar a percebre a causa de la nostra perspectiva, del nostre punt de vista. És una mera qüestió d’escala.

Penseu que esteu passejant per en un camí de muntanya. Per a vosaltres és pla, però per a la formiga que abans passejava pel tronc de l’arbre (pot ser una altra formiga, si voleu, només us volia estalviar l’esforç d’haver d’imaginar una nova formiga amb la seva pròpia vida, somnis i esperances), està ple de turonets i sots que per a vosaltres no existeixen. Vosaltres, amb les vostres llargues cames passeu per sobre de pedres i muntanyetes de sorra sense esforç, mentre que la formiga ha d’anar escalant cada pedreta i irregularitat del terreny.

Si la formiga portés un comptaquilòmetres diminut podríem veure com, havent recorregut el mateix tram que vosaltres, ella ha “caminat” una distància molt més gran. Us costa d’imaginar? Doncs apliquem el zoom del fractal, ara a la inversa.

Imagineu-vos que esteu pujant el cim d’una muntanya i de cop veieu un gegant, el gegant del pi, aquell que balla a tota hora. El gegant és tan gran que passa per sobre de la muntanya fent una sola gambada. Sense problemes va d’un punt a un altre en línia recta mentre que vosaltres ja no us queda airede pujar i baixar la refotuda muntanya. Encara no?

Fem encara un altre cop de zoom i allunyem-nos una mica més de la imatge. Una persona que conec, molt, vol viatjar des de Girona fins a Torino en furgo. Vosaltres heu agafat un avió. Vola tan alt que pot anar en línia recta des de l’aeroport de Girona al de Torino. Vosaltres heu fet uns 540 km (perquè has anat en línia recta), mentre que la colla de la furgo, han hagut d’anar per carretera i has fet, segons Google maps, 778 km. Com és possible si tots dos grups han partit des del mateix lloc i arribat als mateixos destins? Doncs pel fractal dels nassos.

Ho veieu? No és que l’avió vagi més ràpid, que també. És perquè va en línia recta mentre que la furgo ha de fer mil voltes.

En realitat la relació que estic fent queda lligada pel pèls, però crec que il·lustra bé la metàfora del rentaplats que he posat fa una estona i de la que ja no us deveu enrecordar, perquè aquesta història us ha impressionat, oi? Si anem augmentant el volum d’un objecte, encara que no n’augmentem la massa (el pes), arriba un moment en que ens resulta impossible aixecar-lo, perquè el seu nombre de dimensions es va reduint, acostant-se més cap a dos que cap a tres. Es tracta d’una mena de problema de fractals aplicats a la vida real.

Si en dividir les tasques i les repartim entre dues persones estem assumint menys de la meitat de l’esforç de cada individu: on va a parar l’esforç que falta? S’ha perdut en la dimensió fractal. Si dividim en tres encara es perd més, i així fins a l’infinit. La dimensió fractal va engolint l’excés de feina acumulat per a una sola persona. La simultaneïtat de tasques, el canvi de mida de l’objecte, l’especialització,… fa que les tasques es facin molt millor amb ajuda d’un altre que sense.

A on volia anar a parar amb tot això? Bé, bàsicament intentava trobar una explicació filosòfica o matemàtica per a quelcom que tots sabem: en un moment o altre TOTHOM necessitem que ens ajudin. Tingueu present això la propera vegada que alguna persona us demani suport i penseu que, demà, segurament sereu vosaltres qui la necessitareu. Però el més important de tot és que ja no podreu tornar a veure la peli de Frozen de la mateixa manera. Frozen fractals all around.